排序算法(英语: Sorting algorithm)是一种能将一串数据依照特定顺序进行排列的一种算法。 # 排序算法的稳定性 **稳定性**：稳定排序算法会让原本有相等键值的纪录维持相对次序。也就是如果一个排序算法是稳定的，当有两个相等键值的纪录R和S，且在原本的列表中R出现在S之前，在排序过的列表中R也将会是在S之前。 当相等的元素是无法分辨的，比如像是整数，稳定性并不是一一个问题。然而，假设以下的数对将要以他们的第一个数字来排序。 ```shell (4, 1)(3, 1)(3, 7)（5, 6） ``` 在这个状况下，有可能产生两种不同的结果，一个是让相等键值的纪录维持相对的次序，而另外一个则没有： ```shell (3, 1)  (3, 7)  (4, 1)  (5, 6)  （维持次序） (3, 7)  (3, 1)  (4, 1)  (5, 6)  （次序被改变） ``` * 不稳定排序算法可能会在相等的键值中改变纪录的相对次序，但是稳定排序算法从来不会如此。 * 不稳定排序算法可以被特别地实现为稳定。 * 作这件事情的一个方式是人工扩充键值的比较，如此在其他方面相同键值的两个对象间之比较，（比如上面的比较中加入第二个标准：第二个键值的大小）就会被决定使用在原先数据次序中的条目，当作一个同分决赛。然而，要记住这种次序通常牵涉到额外的空间负担。 # 常见的时间复杂度 1. 常数阶 O(1) 2. 对数阶 O(log2n) 3. 线性阶 O(n) 4. 线性对数阶 O(nlog2n) 5. 平方阶 O(n^2) 6. 立方阶 O(n^3) 7. k 次方阶 O(n^k) 8. 指数阶 O(2^n) * 常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜ Ο(nk) ＜ Ο(2n) ，随着问题规模 n 的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低 * 我们应该尽可能避免使用指数阶的算法 ## 常数阶 O(1) 无论代码执行了多少行，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都是0(1) ```shell a = 1 b = 2 a += 1 b -= 1 c = a + b ``` 上述代码在执行的时候，它消耗的时间并不随着某个变量的增长而增长，那么无论这类代 码有多长，即使有几万几十万行，都可以用0(1)来表示它的时间复杂度。 ## 对数阶 O($$log^2n$$) ```python n = 100 i = 1 while i < n: i *= 2 ``` 在while循环里面，每次都将 i 乘以 2，乘完之后，i 距离 n 就越来越近了。我们试着求解一下，假设循环x次之后，i 就大于 2 了，此时这个循环就退出了，也就是说 2 的 x 次方等于 n，那么 $$x = log_2n$$ 也就是说当循环 $$log_2n$$ 次以后，这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为：$$O(log_2n)$$ ## 线性阶 O(n) ```python n = 100 for i in range(n): print(i) ``` 说明:这段代码，for循环 里面的代码会执行n遍，因此它消耗的时间是随着n的变化而变 化的，因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度 ## 线性对数阶 O($$nlogN$$) ```python n = 100 i = 1 while i <= n: j = i while j < n: j *= 2 i += 1 ``` 说明:线性对数阶$$O(nlogN)$$其实非常容易理解，将时间复杂度为$$O(logn)$$的代码循环N遍的 话，那么它的时间复杂度就是$$n*O(logN)$$，也就是了$$O(nlogN)$$ ## 平方阶 O(n²) ```python n = 100 for i in range(n):     for j in range(i):         j += i ``` 说明:平方阶$$O(n2)$$就更容易理解了，如果把$$O(n)$$的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是$$O(n^2)$$，这段代码其实就是嵌套了2层n循环，它的时间复杂度就是$$O(n*n)$$,即$$O(n^2)$$ 如果将其中一层循环的n改成m，那它的时间复杂度就变成了$$O(m*n)$$  ## 立方阶 O(n³)、K 次方阶 O($$n^k$$) 说明：参考上面的 O(n²) 去理解就好了，O(n³)相当于三层 n 循环，其它的类似 ## 常见排序算法对比表 ![image](排序与搜索/image.webp) # 冒泡排序 冒泡排序(英语: Bubble Sort)是一种简单的排序算法。它重复地遍历要排序的数列，一次比较两个元素，如果他们的顺序错误就把他们交换过来。遍历数列的工作是重复地进行直到没有再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。这个算法的名字由来是因为越小的元素会经由交换慢慢“浮”到数列的顶端。 冒泡排序算法的运作如下： * 比较相邻的元素。如果第一个比第二个大（升序），就交换他们两个。 * 对每一对相邻元素作同样的工作，从开始第一对到结尾的最后一对。这步做完后，最后的元素会是最大的数。 * 针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后一个。 * 持续每次对越来越少的元素重复上面的步骤，直到没有任何一对数字需要比较。 ## 冒泡排序的分析 交换过程图示(第一次)： ![1](排序与搜索/1.png) 那么我们需要进行n-1次冒泡过程，其中每个元素的动态过程如下： ![2](排序与搜索/2.gif) ## 代码实现 ```python def bubble_sort(alist): n = len(alist) for j in range(n-1,0,-1): for i in range(j): if alist[i] > alist[i+1]: alist[i],alist[i+1] = alist[i+1],alist[i] l1 = [54,26,34,56,98,78,56,32] bubble_sort(l1) print(l1) ``` ## 时间复杂度 * 最优时间复杂度：$$O(n)$$（表示遍历一次发现没有任何可以交换的元素，排序结束。） ```python def bubble_sort(alist): n = len(alist) count = 0 for j in range(n - 1, 0, -1): for i in range(j): if alist[i] > alist[i + 1]: alist[i], alist[i + 1] = alist[i + 1], alist[i] count += 1 if 0 == count: return l1 = [54, 26, 34, 56, 98, 78, 56, 32] bubble_sort(l1) print(l1) ``` * 最坏时间复杂度：$$O(n^2)$$ * 稳定性：稳定 # 选择排序 ## 定义 选择排序（Selection sort）是一种简单直观的排序算法。 它的工作原理如下。首先在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到排序序列的起始位置，然后，再从剩余未排序元素中继续寻找最小（大）元素，然后放到已排序序列的末尾。以此类推，直到所有元素均排序完毕。 选择排序的主要优点与数据移动有关。如果某个元素位于正确的最终位置上，则它不会被移动。选择排序每次交换一对元素，它们当中至少有一个将被移到其最终位置上，因此对n个元素的表进行排序总共进行至多n-1次交换。在所有的完全依靠交换去移动元素的排序方法中，选择排序属于非常好的一种。 ## 选择排序的分析 排序过程： ![3](排序与搜索/3.png) ![4](排序与搜索/4.gif) 红色表示当前最小值，黄色表示已排序序列，蓝色表示当前位置。 ```python def selection_sort(alist):     n = len(alist)     # 需要进行n-1次选择操作     for i in range(n-1):         # 记录最小位置         min_index = i         # 从i+1位置到末尾选择出最小数据         for j in range(i+1, n):             if alist[j] < alist[min_index]:                 min_index = j         # 如果选择出的数据不在正确位置，进行交换         if min_index != i:             alist[i], alist[min_index] = alist[min_index], alist[i] alist = [54,226,93,17,77,31,44,55,20] selection_sort(alist) print(alist) ``` ## 时间复杂度 * 最优时间复杂度：$$O(n^2)$$ * 最坏时间复杂度：$$O(n^2)$$ * 稳定性：不稳定（考虑升序每次选择最大的情况） ## 选择排序演示 ![5](排序与搜索/5.gif) # 插入排序 ## 定义 插入排序（英语：Insertion Sort）是一种简单直观的排序算法。 它的工作原理是通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。插入排序在实现上，在从后向前扫描过程中，需要反复把已排序元素逐步向后挪位，为最新元素提供插入空间。 ## 插入排序分析 ![6](排序与搜索/6.png) ![7](排序与搜索/7.gif) ## 代码实现 ```python def insert_sort(alist): # 从第二个位置，即下标为1的元素开始向前插入 for i in range(1, len(alist)): # 从第i个元素开始向前比较，如果小于前一个元素，交换位置 for j in range(i, 0, -1): if alist[j] < alist[j-1]: alist[j], alist[j-1] = alist[j-1], alist[j] alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20] insert_sort(alist) print(alist) ``` ## 时间复杂度 * 最优时间复杂度：$$O(n)$$ （升序排列，序列已经处于升序状态） * 最坏时间复杂度：$$O(n^2)$$ * 稳定性：稳定 ## 插入排序演示 ![8](排序与搜索/8.gif) # 快速排序 ## 定义 快速排序（英语：Quicksort），又称划分交换排序（partition-exchange sort），通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。 ## 步骤 1. 从数列中挑出一个元素，称为"基准"（pivot） 1. 重新排序数列，所有元素比基准值小的摆放在基准前面，所有元素比基准值大的摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。在这个分区结束之后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区（partition）操作。 1. 递归地（recursive）把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序。 1. 递归的最底部情形，是数列的大小是零或一，也就是永远都已经被排序好了。虽然一直递归下去，但是这个算法总会结束，因为在每次的迭代（iteration）中，它至少会把一个元素摆到它最后的位置去。 ## 快速排序分析 * 将第一个数字作为中间值 * 然后使用low和high两个游标分别向中间前进 * 当low遇到比中间值大的数字的时候就停止不动，等到high遇到比中间值小的时候，low和high互换元素 * 互换元素之后，游标再继续前进，直到重合，当其重合的时候，也就是得到了中间值所在的位置 * 之后需要依次对中间值左右进行相同的操作 ![9](排序与搜索/9.png) ![10](排序与搜索/10.jpg) ## 代码实现 ```python def quick_sort(alist, start, end):     """快速排序"""     # 递归的退出条件     if start >= end:         return     # 设定起始元素为要寻找位置的基准元素     mid = alist[start]     # low为序列左边的由左向右移动的游标     low = start     # high为序列右边的由右向左移动的游标     high = end     while low < high:         # 如果low与high未重合，high指向的元素不比基准元素小，则high向左移动         while low < high and alist[high] >= mid:             high -= 1         # 将high指向的元素放到low的位置上         alist[low] = alist[high]         # 如果low与high未重合，low指向的元素比基准元素小，则low向右移动         while low < high and alist[low] < mid:             low += 1         # 将low指向的元素放到high的位置上         alist[high] = alist[low]     # 退出循环后，low与high重合，此时所指位置为基准元素的正确位置     # 将基准元素放到该位置     alist[low] = mid     # 对基准元素左边的子序列进行快速排序     quick_sort(alist, start, low-1)     # 对基准元素右边的子序列进行快速排序     quick_sort(alist, low+1, end) alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20] quick_sort(alist,0,len(alist)-1) print(alist) ``` ## 时间复杂度 * 最优时间复杂度：$$O(nlogn)$$ * 最坏时间复杂度：$$O(n^2)$$ * 稳定性：不稳定 从一开始快速排序平均需要花费$$O(n log n)$$时间的描述并不明显。但是不难观察到的是分区运算，数组的元素都会在每次循环中走访过一次，使用$$O(n)$$的时间。在使用结合（concatenation）的版本中，这项运算也是$$O(n)$$。 在最好的情况，每次我们运行一次分区，我们会把一个数列分为两个几近相等的片段。这个意思就是每次递归调用处理一半大小的数列。因此，在到达大小为一的数列前，我们只要作$$log n$$次嵌套的调用。这个意思就是调用树的深度是$$O(log n)$$。但是在同一层次结构的两个程序调用中，不会处理到原来数列的相同部分；因此，程序调用的每一层次结构总共全部仅需要$$O(n)$$的时间（每个调用有某些共同的额外耗费，但是因为在每一层次结构仅仅只有$$O(n)$$个调用，这些被归纳在$$O(n)$$系数中）。结果是这个算法仅需使用$$O(n log n)$$时间。 ## 快速排序演示 ![11](排序与搜索/11.gif) # 搜索 ## 定义 搜索是在一个项目集合中找到一个特定项目的算法过程。搜索通常的答案是：真的或假的，表示该项目是否存在。 ## 搜索的几种常见方法 顺序查找、二分法查找、二叉树查找、哈希查找 ## 二分法查找 * 二分查找又称折半查找，优点是比较次数少，查找速度快，平均性能好；其缺点是要求待查表为有序表，且插入删除困难。 * 因此，折半查找方法适用于不经常变动而查找频繁的有序列表。 * 首先，假设表中元素是按升序排列，将表中间位置记录的关键字与查找关键字比较，如果两者相等，则查找成功； * 否则利用中间位置记录将表分成前、后两个子表，如果中间位置记录的关键字大于查找关键字，则进一步查找前一子表，否则进一步查找后一子表。 * 重复以上过程，直到找到满足条件的记录，使查找成功，或直到子表不存在为止，此时查找不成功。 ![12](排序与搜索/12.png) ## 二分法查找实现 * 非递归实现 ```python def binary_search(alist, item):       first = 0       last = len(alist)-1       while first<=last:           midpoint = (first + last) // 2           if alist[midpoint] == item:               return True           elif item < alist[midpoint]:               last = midpoint-1           else:               first = midpoint+1     return False testlist = [0, 1, 2, 8, 13, 17, 19, 32, 42,] print(binary_search(testlist, 3)) print(binary_search(testlist, 13)) ``` * 递归实现 ```python def binary_search(alist, item):     if len(alist) == 0:         return False     else:         midpoint = len(alist)//2         if alist[midpoint]==item:           return True         else:           if item